Прямоугольный волновод (ПВ) - линия передачи СВЧ диапазона в виде металлической трубы прямоугольного сечения, заполненной однородным изотропным диэлектриком (чаще всего - воздух), рисунок 5.1. ПВ используется в сантиметровом и верхней части миллиметрового диапазонов. Для поперечных размеров ПВ приняты следующие обозначения: a - величина широкой стенки; b - величина узкой стенки, рисунок 5.1.

Величины a и b принято измерять в миллиметрах. Размеры ПВ, используемых в технике СВЧ, стандартизированы. Наиболее распространенными являются сечения 23х10 мм и 8х16 мм. Основными преимуществами ПВ, которые обусловливают их широкое применение в технике СВЧ, являются:

Собственными волнами называют свободные гармонические электромагнитные волны в прямоугольном волноводе с идеально проводящими стенками, заполненном диэлектриком без потерь.

5.2.1 Постановка задачи. Для определения полей собственных волн в ПВ необходимо решить однородные уравнения Гельмгольца относительно комплексных амплитуд напряженностей электрического и магнитного полей:

(5.1)

,(5.2)

где: k - волновое число в свободном пространстве - ;

и - тангенциальная и нормальная составляющие комплексных амплитуд напряженностей электрического и магнитного полей.

В силу продольной однородности геометрических и физических параметров ПВ решение задачи (5.1)-(5.2) можно представить в виде волн, бегущих вдоль оси Oz:

,(5.3)

где b - постоянная распространения волны.

,(5.4)

- поперечное волновое число.

Векторные уравнения (5.4) распадаются на скалярные уравнения для x , y и z компонент полей и , т.е. нахождение полей собственных волн ПВ сводится к решению 6 скалярных уравнений Гельмгольца в поперечном сечении ПВ. Для удовлетворения граничным условиям на идеально проводящих стенках необходимо знать распределения на них поверхностных зарядов и токов, однако они не известны заранее. Поэтому решение скалярных уравнений можно получить только для продольных компонент полей E_mz и H_mz, т.к. они удовлетворяют простым и одинаковым на всех стенках условиям:

,

5.2.2 Классы собственных волн ПВ. Легко убедится, что поставленные задачи для продольных компонент имеют нулевые решения: E_mz=0 и H_mz=0. На основании этого выделяют два класса собственных волн ПВ: E-волны - это собственные волны ПВ, у которых имеется продольная составляющая только электрического поля E_z, а H_z=0; H-волны - это собственные волны ПВ, у которых имеется продольная составляющая H_z, а E_z=0. E-волны называют также электрическими или поперечно-магнитными волнами (ТМ-волнами). Н-волны называют, соответственно, магнитными или поперечно-электрическими. Второе название отражает тот факт, что для Е-(Н-) волн вектор магнитного (электрического) поля лежит в плоскости поперечного сечения ПВ (плоскость z=const на рисунке 5.1). Собственную волну ПВ, у которой и можно представить в виде суперпозиции E - и H-волн. Такие волны называют гибридными.

выражаются через E_mz и H_mz при помощи уравнений Максвелла:

,(5.5)

x₀, y₀, z₀ - орты прямоугольной системы координат.

E-волны: (5.6)

H-волны: (5.7)

5.2.3 Типы собственных волн ПВ. Используя метод разделения переменных, легко получить решения задач (5.6) и (5.7), удовлетворяющие граничным условиям при x=(0; a) и y=(0; b) (рисунок 5.1):

, (5.8)

n и m - целые числа.

Остальные компоненты полей определяются дифференцированием E_mz или H_mz в соответствии с (5.5). Каждому набору двух целых чисел (n,m) соответствует свое распределение поля в ПВ, т.е. набор (n,m) определяет тип собственной волны в ПВ. Другими словами, существует множество типов E- и H-волн. Для них приняты следующие обозначения: E_nm и H_nm.

5.3.1 Возможные типы волн. Из (5.8) следует, что для E-волн при n=0, либо m=0. Таким образом, волны E_nm существуют только при n, m>0. Для H -волн при n=m=0 : , тогда , . Следовательно, волны H₀₀ не существует. Но один из индексов (n или m) может быть равен нулю, т.е. возможны типы волн H_0m и H_n0.

5.3.2 Постоянные распространения. В соответствии с методом разделения переменных, решения (5.8) задач (5.6)-(5.7) получены при условии:

.

Поперечное волновое число определяется индексами n и m, т. е. типом волны, и размерам ПВ. Следовательно, каждому типу волны соответствует своя постоянная распространения и фазовая скорость .

5.3.3 Затухающие волны в ПВ. Согласно (5.3) поле в ПВ имеет вид распространяющейся волны только при действительном b, т.е. когда k>k^ . Если k<k^ , то подставив , где a - действительно, в выражение (5.3), получим экспоненциально убывающее вдоль оси поле (рисунок 5.2):

.(5.9)

Выражение (5.9) описывает поле, которое совершает синфазные гармонические колебания по закону , при этом распределение поля в поперечном сечении и по-прежнему определяется задачами (5.6) и (5.7) и уравнениями (5.5), т.е. остается тем же самым, что и у распространяющихся E- или H-волны. Поэтому такое поле называют затухающей E_nm или H_nm волной. Отметим, что несмотря на название, такое переменное поле волной по существу не является. Коэффициент a называют коэффициентом затухания. Следует подчеркнуть, что уменьшение амплитуды поля вдоль оси Oz в данном случае не связано с какими-либо потерями энергии. Согласно (5.9) a определяет расстояние D z, на котором амплитуда поля Е₀ уменьшается в e2.72 раз - рисунок 5.2.

5.3.4 Условия распространения волны в ПВ. Определим условия, при которых на данной частоте в ПВ с размерами a и b будет распространяться заданный тип волны. Как было отмечено выше, распространяющаяся волна будет существовать в волноводе при выполнении неравенства k>k^ , т. е.

.

Тогда частота должна удовлетворять неравенству: w < w _кр, где введено обозначение:

.

w _кр называется критической частотой данного типа волны. При w < w _кр волна с индексами (n, m) распространяться не будет. Критическая частота растет с увеличением индексов n и m . Волна, обладающая минимальной w _кр называется основной волной (основным типом волны). Все остальные волны называют высшими типами волн.

Поскольку a - размер широкой стенки, то из выражения для w _кр следует, что в ПВ основной волной будет волна с n=1, m=0. Очевидно, что это H-волна , т.к. в классе E-волн m>0. Критическая частота волны:

.

В теории волноводов используется также понятие критической длины волны, соответствующей критической частоте в свободном пространстве: . Для волны - равна удвоенному размеру широкой стенки ПВ.

На частотах, меньших критической частоты основной волны, волновой процесс в ПВ существовать не может. В данном случае волновод называют запредельным. Поле в запредельном волноводе представляет собой суперпозицию бесконечного числа затухающих волн вида (5.8), соответствующих различным коэффициентам затухания:

.(5.10)

Электромагнитное поле в любом сечении, как отмечалось выше, синфазно изменяется со временем по гармоническому закону. Амплитуда колебаний очень быстро убывает с ростом z. Отрезки запредельных волноводов часто используют в качестве аттенюаторов, т.к. вносимое ими затухание на заданной частоте легко рассчитать с помощью (5.10) и (5.9).

5.3.5 Длина волны в ПВ. Длина волны в волноводе определяется следующим образом . Подставив выражение для b получим:

.

.

• длина волны в волноводе больше длины волны в свободном пространстве при той же частоте волны;
• при , - поле приближается к синфазному;

5.3.5 Фазовая и групповая скорости волн в ПВ. Аналогично выражению для длины волны можно получить формулу для расчета фазовой скорости собственной волны ПВ:

.

.

Групповая скорость меньше скорости света, при v_гр=0 т.е. волновой процесс исчезает. Отметим, что v_гр и v_nm зависят от частоты, следовательно, ПВ обладает дисперсией. При больших частотах f ® Ґ групповая и фазовая скорости стремятся к скорости света с в диэлектрике, заполняющем волновод - рисунок 5.4. Стремление фазовой скорости к бесконечности при связано с тем, что при колебания в ПВ становятся синфазными.

В реальном ПВ происходят потери электромагнитной энергии, в результате чего наблюдается затухание волн. Этот процесс характеризуется погонной мощностью потерь:

где d P - мощность потерь в отрезке линии передачи длиной d z, рисунок 5.1.

,(5.11)

d V содержит разнородные среды: металл оболочки в сечении S_М и заполняющий диэлектрик в S_Д (рисунок 5.1). Следовательно, интеграл по S = S_М + S_Д распадается на два: интеграл по S_М - определяет потери в металле, т. е. в стенках волновода, и интеграл по S_Д - потери в диэлектрике.

5.4.1 Потери в стенках ПВ. Так как на рабочих частотах волновода (диапазон СВЧ) наблюдается сильный поверхностный эффект, то потери в металле принято рассчитывать исходя из выражения для мощности потерь при скин-эффекте. Тогда погонная мощность потерь примет вид:

,(5.12)

где d S - внутренняя поверхность оболочки отрезка ПВ длиной d z;

L - внутренний контур сечения оболочки ПВ (рисунок 5.1);

s - удельная проводимость материала оболочки;

D - глубина проникновения поля (толщина скин-слоя);

H_mt - касательная к d S компонента магнитного поля волны в ПВ.

H_mt - компонента поля волны в ПВ со стенками из реального металла с конечной проводимостью s . Эта волна уже не будет являться собственной волной ПВ. Нахождение ее электромагнитного поля - весьма сложная задача. Однако в реальной ситуации потери в стенках волновода малы, поэтому при расчетах погонной мощности потерь в металле в качестве хорошего приближения для H_mt можно использовать известные выражения для магнитных полей собственных волн структуры. Обычно реальный волновод работает в одномодовом диапазоне, тогда его поле можно приближенно считать совпадающим с полем основной волны Н₁₀. Подставив выражение для H_mz при n=1, m=0 из (5.8) в формулу для поперечных компонентов магнитного поля (5.5), после дифференцирования получим:

,

для упрощения формул мы рассматривает сечение ПВ с координатой z=0. Полное магнитное поле волны Н₁₀ примет вид:

.

На боковых стенках (x=0; a) имеем: , т.е. подынтегральные выражения в (5.12) для этих стенок будут одинаковы. Аналогичная ситуация на верхней и нижней стенках (y=0; b):

.

Таким образом, достаточно проинтегрировать в (5.12) по двум стенкам x=0 и y=0 и результат удвоить:

.

,(5.13)

где l - длина волны в свободном пространстве при рабочей частоте - так называемая рабочая длина волны: 2a/l = f/f_кр.

5.4.2 Потери в диэлектрике. На практике потери в диэлектрике определяют по формуле (5.11), интегрируя по S_Д. Магнитные потери в диэлектрике намного меньше диэлектрических, поэтому ими обычно пренебрегают:

.

5.4.3 Коэффициент затухания ПВ. При наличии потерь волна в направляющей структуре будет затухать Ее амплитуда уменьшается вдоль ПВ по закону e^{-a z} - как изображено на рисунке 5.2, однако в данном случае затухание обусловлено рассеянием электромагнитной энергии. Коэффициент затухания имеет тот же смысл, что и в п. 5.3.3. Если P - передаваемая вдоль волновода мощность, то легко показать, что коэффициент затухания:

,(5.14)

Мощность P на входе волновода с потерями равна мощности генератора.